こんにちは。
株式会社ユー不動産コンサルタント脇保雄麻です。
ご質問者様のお気持ちも十分わかります。退去したことが事後報告だし、入居者が管理会社とトラブルになって退去して相手方が弁護士入れてまでのトラブル？になって。
空室期間があるとオーナー様にとってもリスクであるということは十分わかります。ただ結論から申し上げると管理会社に空室期間の家賃を払ってもらうということは難しいと思います。
管理会社が入居者とのトラブルを未然に防いでいれば空室にならずに済んだという主張はわかります。入居者も様々な入居者もいます。表現が適切でないかもしれませんが中にはクレーマーみたいな入居者も実際にいます。例えば入居後に室内の難癖をつけて賃料支払いを拒んだりする入居者もいます。入居者と管理会社との間での対応も出来る出来ないがありますが、賃借人の中には通常での管理業務を超えての要望を管理会社に言ってトラブルになるということもあります。
管理会社と入居者とのトラブルが具体的にどういったトラブルであったかがわかりませんが、空室期間の損害はオーナー様が負担するのが通常です。
入居者の退去連絡が後から管理会社に連絡されたということに納得いかない部分もあると思いますが、（賃貸契約上で退去連絡が１か月前での取決めがあったとして）５月末に賃借人から退去連絡が管理会社にあり６月分までの賃料を賃借人は支払っていて契約解除していて、７月分賃料を管理会社が負担してくれているので、その点は良心的な管理会社ではないかと思います。
どうしても納得がいかず空室期間の賃料を管理会社に補填させたいということであれば、管理会社との管理契約での違反や過失等に対して方法があるかは弁護士にご相談するのも一つの手段だと思いますが、依頼されている管理会社の管理の仕方や入居者の客付けに納得いかない部分があるのであれば管理会社を変えてはいかがでしょうか？また、仮に管理会社が今の委託している管理会社しかいないエリアだということであれば、担当者を変えてもらうようにお願いするのもいいかもしれません。すべてを管理会社に丸投げするのではなくオーナー様自らも客付けしてくれそうな不動産会社にご自身のアパートを紹介してみたりするのもいいかもしれません。今の管理会社との管理契約がどのような内容かがわかりませんが、仮にオーナー様が紹介した不動産会社で客付けしてもらったら、今まで管理会社に広告費と手数料を支払っていた分を広告費分は紹介して客付けしてくれた不動産会社にオーナー様が自から支払うような形（支払手数料等に関して業法上での規制等がありますので突っ込んだ話はぬきとして）をとったり等、なんらかオーナー様自らアクション起こせる部分あると思います。オーナー様と管理会社様との間で良好な関係等を気づいていかなければ良好にアパートも運営できないと思いますので。
少しでも参考になれば