こんにちは。
不動産問題解決コンサルティング仲介の株式会社ユー不動産コンサルタント脇保雄麻です。
契約締結前と契約締結後では違うのですが、ご相談者様の場合は契約締結後と言うことですので残念ですが難しいです。申込だけの状況であれば申込取消す事は可能ですが、契約締結済ということで契約内容に合意して記名押印したということになるので契約を取消すというのは難しいと思います。
基本的には賃貸の場合、契約締結後に賃料発生日の期間はおかないことが多いです。理由としては、契約締結後に入居日は数カ月詐欺ですなので賃料発生日もその時となると、数カ月の間は貸主としては賃料収入を得られないし別の入居者を募集できない為です。人気があり需要がありそうな部屋であればなおさら、貸主としては申込みから賃料発生日を短い人に貸したいと考えてしまいます。
空室が目立つ物件であったり需要が少なそうなエリアであれば、申込みから賃料発生日を先にするような交渉を貸主として契約をすることもあります。ただ、契約事項には賃料発生日は先でも契約解除の場合はの違約事項は別途設けていると思いますので、闇雲に貸主と交渉して申込みするというのも良くはありませんが。
賃料の場合、内覧したら契約を焦らせる不動産屋が多く感じます。いずれにせよ、賃貸でお部屋探される際は、入居が先でもあるのならネットである程度でもお部屋は見れると思います。ネットでいくつも物件を見ているとエリアごとの賃料相場等が分かってくると思います。ある程度の賃料相場が自分なりに把握下上で入居日も決まった段階で不動産屋に物件を案内してもらっても遅くはないと思います。
いずれにしても、
入居日が数カ月先で賃貸不動産屋で内覧しても契約を焦らされるか数カ月先にはその部屋は無くなっている事が多いと思います。
賃貸不動産屋の担当者によっては、内覧だけでもいいですよ。と言ってくれるかもしれません。契約後に賃料発生日を入居日（数カ月先）でも大丈夫なお部屋（貸主が承諾してくれる部屋）があるか担当者に相談されてから内覧する方がいいですね。

初めての一人暮らしということで、色々とご不安もあった中でさも当たり前のように契約・入居手続きまで進められてしまったようですね。
退去費用に関しては退去時に精算となりますので契約段階ではおそらく触れられていませんが、クリーニング代が入居前か退去後の負担になるかは契約書に記載があると思います。更新時の内容も同様に契約書に明記されているはずです。ただ、ご相談内容からするとすでに契約・入居済みということですのでこれから何か対処というのは正直難しいです。
また、一般的に相談者様がお探ししていた時期は不動産業界の繁忙期で入居者の入れ替え等が多く行われる時期ですので、オーナーさんからすると早く契約してくれる人を優先していくことになります。繁忙期だからこそ強気の姿勢とも言えますが、オーナーさんは家賃収入という営利目的ですので空室期間は少ない方がよいので通常時でも2ヶ月後から契約開始となるとなかなか了承をしてくれる人はいらっしゃらないのが現実です。
その当時に出来る方法は他の物件を探しながら、本来の入居時期へ近づいても空室だった場合に申込をするということくらいではあったかと思います。ですが、売買でも賃貸でも早い者勝ちという側面があるので、難しい問題ではありますが今後転居する際には繁忙期を避けてお探しするか、早めにお探しを始めて契約満了前に退去及び転居することをおススメします。
大手だから安心というわけではありませんので、地元の小さい会社でもしっかりと対応をしてくれる営業マンと巡り合えればそういった契約後のトラブルなども無くなるのではないかと思います。